我看了半天还是看不大懂你的意思,这个跟居留没有任何关系。你所说的那个6个月之内申请的是ASSEGNO MATERNITA,就是生育补贴,那个是要长期居留才可以申请的,很显然你的是短期居留,不可以申请的。家庭补助金是ASSEGNO DI FAMIGLIA,这个你如果有工作有签工的话,随时都可以申请,小孩出生后第一个月就该申请,不需要等居留办了以后才申请。
家庭补贴每年7月份都要更新一次,也就是说,每年7月份都要重新申请一次,你需要去COMUNE的ANAGRAFE办公室(就是办身份证的地方),打一张CERTIFICATO DI STATO DI FAMIGLIA证明。不管你的孩子在哪里,只要那张证明上有你孩子的名字就可以。如果你的孩子在中国太久,居留过期了没有延期过来,或者你没有拿新的居留去ANAGRAFE登记,一年以后ANAGRAFE就会取消孩子的户籍,像这种情况,证明上是没有孩子的名字的,那么INPS就会取消给孩子的家庭补贴。